Пояснення калькулятора складного відсотка

Складний відсоток — одна з небагатьох ідей у фінансах, яку справді легко сформулювати і справді важко відчути. Калькулятор складного відсотка на цьому сайті існує для того, щоб показати арифметику: саме арифметика відрізняє це від правила великого пальця.

Правило великого пальця каже: відсотки нараховуються і на відсотки. Арифметика каже: ось як це впливає на ваш баланс, місяць за місяцем, за вказаною вами ставкою.

Що робить інструмент

Ви задаєте початковий баланс, щомісячний платіж, річну ставку, кількість років, частоту нарахування відсотків і рівень інфляції. Він просувається на один період нарахування відсотків за раз.

У кожному періоді він додає відсотки, нараховані на поточний баланс, а потім додає внески за цей період — на початку періоду або в кінці нього, залежно від налаштування. Це повторюється, доки не буде досягнуто заданий горизонт.

Порядок має значення. Внесок, зроблений на початку періоду, приносить відсотки протягом усього цього періоду, тому в кінці він перевищує такий самий внесок, зроблений наприкінці. Різниця для кожного платежу невелика. Різниця за тридцять років — значна.

Замкнена форма

Той самий результат можна записати як один вираз:

*FV = P(1 + r)ⁿ + PMT · ((1 + r)ⁿ − 1) / r

Де P — початковий баланс, r — річна ставка, поділена на кількість періодів нарахування відсотків на рік, n — кількість періодів, а PMT — внески, що вносяться в кожному періоді.

Якщо внески здійснюються на початку кожного періоду, член внеску множиться на (1 + r), оскільки ці внески отримують додатковий період відсотків.

Калькулятор виконує періоди послідовно, а не оцінює цей вираз одноразово, і причина полягає в таблиці за роками: щоб створити таблицю, потрібно знати кожен проміжний баланс, і послідовний розрахунок дає їх без додаткових зусиль. Обидва методи збігаються до копійки, що саме по собі є корисною перевіркою — обчислювальний рушій перевіряється саме на такий збіг.

За нульової ставки формула втрачає сенс, оскільки ділення на r не визначено. Розрахунок окремо обробляє цей випадок, а не допускає ділення на нуль: за відсутності відсотків баланс збільшується лише завдяки внескам, що і відбувається насправді.

Номінальна, ефективна та реальна

У результатах відображаються три ставки, які легко переплутати.

Номінальна ставка — це число, зазначене на рахунку: 7 відсотків. Це число, яке цитують, і те, що ви вводите.

Ефективна річна ставка — це те, що фактично заробляє залишок коштів за рік після нарахування відсотків за формулою складного відсотка: (1 + r), піднесене до кількості періодів на рік, мінус один. Для 7 відсотків із нарахуванням щомісяця це 7.229 відсотка. Регулятор інвестора пояснює цю відмінність у своєму глосарії, а різниця між ними є ефектом складного відсотка, який має грошове значення на тривалих часових горизонтах.

Реальна ставка **** усуває інфляцію зі ставки, яку фактично заробляють гроші:

реальна ставка = (1 + ефективна річна ставка) / (1 + інфляція) − 1

Це ставка, яка описує, скільки купівельної спроможності зберігає баланс. Номінальна ставка — це не те число, яке тут потрібно використовувати: рахунок показує 7 відсотків, а на баланс за рік надходить 7.229 відсотка, коли врахувати нарахування відсотків. При 7 відсотках із щомісячним нарахуванням і інфляції 2.5 відсотка реальна ставка становить приблизно 4.61 відсотка. Баланс у стовпці калькулятора для реальної вартості — це номінальний баланс, поділений на інфляцію, нараховану за той самий період.

Питання про частоту

Більш часте нарахування відсотків за однакової номінальної ставки дає більший залишок. Номінальна ставка не змінюється; змінюється ефективна ставка, і саме ефективна ставка визначає результат нарахування відсотків.

Інструмент пропонує шість періодичностей, і це саме ті, що ділять дванадцять. Обмеження не є довільним: внески здійснюються щомісяця, а збереження однакового періоду нарахування відсотків і періоду внесків забезпечує точність розрахунків. Щомісячне нарахування відсотків за щомісячними внесками є поширеним випадком, а інші варіанти охоплюють рахунки, на яких відсотки нараховуються щокварталу, двічі на рік або щороку.

Чого не враховує цей прогноз

• Комісії. Плата за рахунок зазвичай становить відсоток від балансу, тому вона також підлягає нарахуванню відсотків. Сторінки Investor.gov про комісії та витрати докладно пояснюють ці механізми.
• Податки. Оподаткування пенсійного рахунку та прибутків від інвестицій залежать від типу рахунку та особи. Служба внутрішніх доходів США публікує правила для рахунків, якими вона управляє.
• Волатильність. Реальний баланс інвестицій зменшується в роки, коли ринки падають. Фіксована ставка не може відобразити це, і інструмент не намагається це робити.
• Зміни внесків. Збільшення внеску з часом або припинення внесків передчасно не враховується в моделі. Внесок залишається постійним протягом усього періоду.

Емпіричне правило, перевірене

Емпіричне правило полягає в тому, що за певну кількість років гроші приблизно подвоюються за заданої ставки. Це можна перевірити за допомогою інструмента. Запустіть 30 років під 7 відсотків без внесків і порівняйте результат із початковим залишком; виконайте такий самий розрахунок із внеском і подивіться, як зміниться час подвоєння. Інструмент існує для того, щоб емпіричне правило можна було перевірити, а не лише прийняти на віру.