复利计算器详解

复利是金融领域中少数几个真正表述简单却很难凭直觉理解的理念之一。本网站上的复利计算器旨在把计算过程呈现出来，因为正是这些计算将它与经验估算区分开来。

经验法则说：利息就是利息产生的利息。计算过程说明的是：按你输入的利率逐月计算，这会如何影响你的余额。

这个工具能做什么

你输入初始余额、每月供款、年利率、年数、复利频率和通胀率。它会逐个复利期进行计算。

在每个计息期，它会根据当前余额加入所得利息，然后加入该期的供款——是在期初还是期末，取决于具体设置。它会重复计算，直到达到所设期限。

顺序很重要。在计息期初支付的供款会赚取整个计息期的利息，因此最终金额会高于在期末支付的相同供款。每笔付款的差额很小。但30年累计下来，差额并不小。

闭式

同样的结果可以写成单个表达式：

*FV = P(1 + r)ⁿ + PMT · ((1 + r)ⁿ − 1) / r

其中 P 是初始余额，r 是年利率除以每年的复利期数，n 是期数，PMT 是每期缴纳的金额。

如果在每个期间开始时缴款，缴款项就会乘以 (1 + r)，因为这些缴款会多产生一个期间的利息。

计算器会按顺序运行各个期间，而不是一次性计算这个表达式，原因在于逐年表格：要生成表格，就需要每个中间余额，而这个计算顺序可以顺带得到这些余额。两种方法的结果精确到美分完全一致，这本身也是一项有用的检查——计算引擎正是按照这种一致性进行测试的。

在利率为零时，该公式会退化，因为除以 r 是未定义的。计算会明确处理这种情况，而不是让它产生除以零的错误：没有利息时，余额仅因存款而增加，实际也确实如此。

名义、有效和实际

结果中会出现三个利率，很容易混淆。

名义利率是账户上显示的数字：7%。这是公布的数字，也是你要输入的数字。

实际年利率是计入复利后，余额在一年中实际获得的收益率：先以 (1 + r) 的年次方方幂，其中次方为每年的计息期数，再减一。按月复利的 7% 为 7.229%。投资者的监管机构在其术语表中解释了这一区别，而两者之间的差异是复利效应，在长期内会产生实际价值。

实际利率是从资金实际获得的利率中剔除通货膨胀影响后的利率：

实际利率 = (1 + 实际年利率) / (1 + 通货膨胀率) − 1

这是用来描述余额所保留购买力的利率。这里不应使用名义利率：7% 是账户公布的利率，而按复利计算，一年后实际计入余额的是 7.229%。在 7% 按月复利和 2.5% 通货膨胀率下，实际利率约为 4.61%。计算器实际价值栏中的余额，是名义余额除以同一时期的复合通货膨胀率。

复利频率问题

在名义利率相同的情况下，复利计算越频繁，最终余额越大。名义利率不变，实际利率会发生变化，而实际利率反映复利计算带来的效果。

该工具提供六种频率，恰好都是十二的约数。这一限制并非随意设定：缴款按月进行，使复利周期与缴款周期一致，可以让计算保持精确。按月复利配合按月缴款是常见情形，其余选项涵盖按季度、每年两次或每年计息的账户。

这项预测未包括的内容

• 费用。 账户费用通常是余额的一定百分比，因此也会产生复利。Investor.gov 关于费用和开支的页面详细说明了这些收费结构。
• **税务。**退休账户和投资收益的处理方式取决于账户类型以及个人情况。美国国内税务局会公布其管理的各类账户所适用的规则。
• **波动性。**市场下跌时，实际投资余额也会减少。固定利率无法体现这一点，该工具也不会尝试体现。
• **缴款变动。**逐步提高缴款额或中途停止缴款不在此模型的范围内。在整个期限内，缴款额保持不变。

经验法则及其验证

经验法则是，在给定利率下，资金大约每隔若干年就会翻倍。你可以用该工具对此进行验证。以 7% 运行 30 年且不缴款，将结果与初始余额进行比较；用相同计算加入缴款，观察翻倍时间如何变化。该工具的用途是让你检验这一经验法则，而不是直接相信它。