Сложный процент: как работает калькулятор

Сложный процент — одна из немногих идей в финансах, которую действительно просто сформулировать и действительно трудно почувствовать. Калькулятор сложного процента на этом сайте существует, чтобы сделать арифметику видимой, потому что именно арифметика отличает его от эмпирического правила.

Эмпирическое правило звучит так: процент начисляется и на проценты. Арифметика говорит другое: вот что это делает с балансом, месяц за месяцем, по введённой ставке.

Что делает инструмент

В него вводятся начальный баланс, ежемесячный взнос, годовая ставка, число лет, частота начисления процентов и уровень инфляции. Он продвигает расчёт на один период начисления за раз.

В каждом периоде к текущему балансу добавляется начисленный процент, а затем добавляется взнос за этот период — в начале периода или в конце, в зависимости от настройки. Повторение продолжается до горизонта расчёта.

Порядок имеет значение. Взнос в начале периода зарабатывает процент за весь этот период, поэтому заканчивается большей суммой, чем такой же взнос в конце периода. Разница по каждому платежу невелика. Разница за тридцать лет — велика.

Замкнутая формула

Тот же результат записывается одним выражением:

FV = P(1 + r)ⁿ + PMT · ((1 + r)ⁿ − 1) / r

Где P — начальный баланс, r — годовая ставка, делённая на число периодов начисления в году, n — число периодов, а PMT — взнос, вносимый в каждом периоде.

Когда взносы делаются в начале каждого периода, слагаемое с взносом умножается на (1 + r), потому что эти взносы зарабатывают дополнительный период процента.

Калькулятор выполняет периоды последовательно, а не вычисляет это выражение один раз, и причина в таблице по годам: для её построения нужны все промежуточные балансы, а последовательный расчёт даёт их бесплатно. Оба метода совпадают до цента, и это само по себе полезная проверка — расчётный модуль тестируется именно на это совпадение.

При нулевой ставке формула вырождается, потому что деление на r не определено. Расчёт обрабатывает этот случай явно, вместо того чтобы получить деление на ноль: при отсутствии процентов баланс растёт только за счёт взносов, и происходит именно это.

Номинальная, эффективная и реальная

В результатах появляются три ставки, и их легко перепутать.

Номинальная ставка — это число на счёте: 7 процентов. Это то, что объявляют, и это то, что вводится в расчёт.

Эффективная годовая ставка — это то, что баланс фактически приносит за год с учётом начисления процентов: (1 + r) в степени, равной числу периодов в году, минус один. Для 7 процентов при ежемесячном начислении это 7.229 процента. Регулятор, отвечающий за защиту инвесторов, объясняет это различие в своём глоссарии, и разница между двумя ставками — это эффект сложного процента, который на длинных горизонтах приносит реальные деньги.

Реальная ставка убирает инфляцию из номинальной ставки:

real rate = (1 + nominal) / (1 + inflation) − 1

Это ставка, которая показывает, сколько покупательной способности содержит баланс. При номинальной ставке 7 процентов и инфляции 2.5 процента реальная ставка составляет около 4.44 процента, а значение в колонке реальной стоимости калькулятора — это номинальный баланс, делённый на инфляцию, начисленную за тот же период.

Вопрос частоты

Более частое начисление процентов при той же номинальной ставке даёт больший баланс. Номинальная ставка не меняется; меняется эффективная, и именно эффективная ставка показывает, что даёт начисление.

Инструмент предлагает шесть вариантов частоты, и это ровно те, на которые делится двенадцать. Ограничение не произвольное: взносы ежемесячные, и совпадение периода начисления с периодом взносов сохраняет арифметику точной. Ежемесячное начисление при ежемесячных взносах — типичный случай, а остальные варианты охватывают счета с начислением ежеквартально, дважды в год или ежегодно.

Что остаётся за рамками прогноза

• Комиссии. Списание со счёта обычно составляет процент от баланса, поэтому оно тоже начисляется по правилам сложного процента. Страницы Investor.gov о комиссиях и расходах описывают эти схемы подробно.
• Налоги. Обращение с пенсионным счётом и с инвестиционными доходами зависит от типа счёта и от самого человека. Internal Revenue Service публикует правила для счетов, которыми он управляет.
• Волатильность. Реальный инвестиционный баланс падает в годы, когда рынки падают. Фиксированная ставка этого не передаёт, и инструмент к этому не стремится.
• Изменения взносов. Повышение взноса со временем или его прекращение находятся за пределами модели. На всём горизонте взнос остаётся постоянным.

Эмпирическое правило, проверенное

Эмпирическое правило говорит, что при заданной ставке деньги удваиваются примерно за столько-то лет. Это проверяется инструментом: 30 лет под 7 процентов без взносов дают результат, который сравнивается с начальным балансом; тот же расчёт со взносом показывает, как меняется время удвоения. Инструмент существует, чтобы эмпирическое правило можно было проверить, а не принять на веру.