Explicação da calculadora de juros compostos

Juros compostos são uma das poucas ideias em finanças que são realmente simples de explicar e realmente difíceis de sentir. A calculadora de juros compostos deste site existe para tornar a aritmética visível, porque é a aritmética que distingue isso de uma regra prática.

A regra prática diz: juros são juros sobre os juros. A aritmética diz: aqui está o que isso faz com seu saldo, mês a mês, à taxa que você informou.

O que a ferramenta faz

Você informa um saldo inicial, uma contribuição mensal, uma taxa anual, um número de anos, uma frequência de capitalização e uma taxa de inflação. Ela avança um período de capitalização por vez.

Em cada período, ela acrescenta os juros obtidos sobre o saldo atual e depois acrescenta a contribuição do período — no início ou no fim dele, dependendo da configuração. Repete isso até alcançar o horizonte.

A ordem importa. Uma contribuição feita no início de um período rende juros durante todo esse período, de modo que termina com um valor maior do que a mesma contribuição feita no fim. A diferença por pagamento é pequena. A diferença ao longo de trinta anos não é.

A forma fechada

O mesmo resultado pode ser escrito como uma única expressão:

*FV = P(1 + r)ⁿ + PMT · ((1 + r)ⁿ − 1) / r

Onde P é o saldo inicial, r é a taxa anual dividida pelo número de períodos de capitalização por ano, n é o número de períodos e PMT é a contribuição feita em cada período.

Quando as contribuições são feitas no início de cada período, o termo da contribuição é multiplicado por (1 + r), porque essas contribuições rendem um período adicional de juros.

A calculadora executa os períodos em sequência, em vez de avaliar esta expressão uma única vez, e o motivo é a tabela anual: para produzir uma tabela, você precisa de cada saldo intermediário, e a sequência os produz sem custo adicional. Os dois métodos coincidem até o centavo, o que por si só é uma verificação útil — o mecanismo de cálculo é testado exatamente com essa coincidência.

A uma taxa zero, a fórmula degenera, pois a divisão por r fica indefinida. O cálculo trata esse caso explicitamente, em vez de deixar que ele resulte em uma divisão por zero: sem juros, o saldo cresce apenas com os depósitos, que é exatamente o que acontece.

Nominal, efetiva e real

Três taxas aparecem nos resultados, e é fácil confundi-las.

A taxa nominal é o número que consta na conta: 7 por cento. É o número que é cotado e que você digita.

A taxa efetiva anual é o que o saldo realmente rende em um ano após a aplicação dos juros compostos: (1 + r) elevado ao número de períodos por ano, menos um. Para 7 por cento com capitalização mensal, isso equivale a 7,229 por cento. O regulador do investidor explica a distinção em seu glossário, e a diferença entre as duas é um efeito de capitalização que vale dinheiro em horizontes longos.

A taxa real remove a inflação da taxa que o dinheiro realmente rende:

taxa real = (1 + taxa anual efetiva) / (1 + inflação) − 1

Esta é a taxa que descreve quanto poder de compra o saldo mantém. A taxa nominal não é o número a ser usado aqui: 7 por cento é o que a conta cota, e o que entra no saldo ao longo de um ano é 7,229 por cento após a aplicação da capitalização. Com capitalização mensal a 7 por cento e inflação de 2,5 por cento, a taxa real é de aproximadamente 4,61 por cento. O saldo na coluna de valor real da calculadora é o saldo nominal dividido pela inflação capitalizada no mesmo período.

A questão da frequência

Capitalizar com mais frequência, à mesma taxa nominal, produz um saldo maior. A taxa nominal não muda; a taxa efetiva muda, e a taxa efetiva é o resultado da capitalização.

A ferramenta oferece seis frequências, e são exatamente as que dividem doze. A restrição não é arbitrária: as contribuições são mensais, e manter o período de capitalização igual ao período de contribuição mantém a aritmética exata. A capitalização mensal com depósitos mensais é o caso comum, e as demais atendem a contas que creditam juros trimestralmente, semestralmente ou anualmente.

O que esta projeção deixa de fora

• Taxas. Uma cobrança de conta geralmente é uma porcentagem do saldo, portanto também incide sobre os juros compostos. As páginas da Investor.gov sobre taxas e despesas explicam as estruturas em detalhes.
• Impostos. O tratamento de uma conta de aposentadoria e dos ganhos de investimento depende do tipo de conta e da pessoa. O Internal Revenue Service publica as regras das contas que administra.
• Volatilidade. O saldo real de um investimento cai em anos nos quais os mercados caem. Uma taxa fixa não representa isso, e a ferramenta não tenta.
• Mudanças nas contribuições. Aumentar uma contribuição ao longo do tempo ou interromper parte dela está fora do modelo. A contribuição é constante em todo o horizonte.

Uma regra prática, verificada

A regra prática é que o dinheiro dobra aproximadamente a cada tantos anos, dada uma determinada taxa. Você pode verificá-la com a ferramenta. Simule 30 anos a 7 por cento sem contribuições e compare o resultado com o saldo inicial; faça a mesma simulação com uma contribuição e observe o tempo de duplicação mudar. A ferramenta existe para que a regra prática possa ser testada, e não apenas acreditada.